Kaj Nyström, matematiska institutionen, Uppsala universitet

2010-2015

Alla finansiella institutioner måste ha en beredskap att hantera likviditetsrisk och vi menar att likviditetsrisk, trots dess fundamentala betydelse för det finansiella systemet, till stor del återstår att modellera. Framför allt hävdar vi att lämpliga modeller för att bedöma likviditetsrisk, på instrumentnivå, på portföljnivå såväl som på nivån för det finansiella systemet som helhet, återstår att utvecklas. Syftet med forskningsprojektet är att modellera likviditetsrisk på dessa tre nivåer och att utforma modeller och ramverk för likviditetsrisk som är teoretiskt sunda och som kan ha påverkan på de reella industriella problemen.

Vi har varit projektets ursprungliga syfte trogna dock med ett viktigt tillägg: i ett skede beslutade vi att begränsa vårt fokus och att studera aktuella problem i det kontext som definieras som högfrekvenshandel (HFT). Vi beslutade att välja denna vinkel av flera skäl, men främst på grund av god tillgång på högfrekvensdata. Genom kontakter med NasdaqOMX fick vi tillgång till samtliga transaktioner i ett antal underliggande aktier och kunde därmed återskapa orderböcker och studera deras dynamik. Vi noterar att om orderbokens dynamik är känd så kan i princip en komplett beskrivning av tillgång och efterfrågan göras med efterföljande konsekvenser på prisbildningsprocessen. I kontextet högfrekvenshandel kan några av målen för projektet formulerades på följande sätt.

o Använda statistiska och ekonometriska verktyg för att modellera högfrekvensdata.
o Utveckla marknadsmodeller för högfrekvenshandel, med särskilt fokus på market making/ likviditetsfrågor.
o Utveckla marknadsmodeller för högfrekvenshandel baserade på den ekonomiska teorin för marknader som tar hänsyn till asymmetrisk information, market making strategier etcetera.
o Härleda och analysera konsekvenserna av modellerna på prisbildning, likviditet, volatilitet etcetera.

I projektet har vi arbetat med tre uppsatser och dessa uppsatser innehåller projektets viktigaste resultat.

För det första har vi utvecklat och analyserat en modell för market making och optimala portföljlikvidation under osäkerhet. Market making och optimala portföljlikvidation i elektroniska (limiterade) orderböcker är av praktisk betydelse för högfrekvens (HF) market makers samt för mer traditionella mäklarfirmor som levererar exekveringstjänster för kunder. Vanligen angrips dessa två problemen med sannolikhetsmodeller definerade på ett (referens) sannolikhetsrum. Dock, på grund av osäkerheten i modellparametrar, eller i perioder av extrem marknadsoron, kan osäkerhet om det underliggande sannolikhetsrummet i sig uppstå, och modellrisken kan leda till oväntade konsekvenser på grund av felprissättningar. Vi fokuserar på market making och optimala likvidationsproblem, baserade på limiterade ordrar, under modellrisk och osäkerhet. Båda problemen formuleras som stokastiska optimala kontrollproblem, och kontrollerna är de spreadar, i förhållande till ett referenspris, baserat på vilka ordrarna placeras i orderboken. Modellerna tar höjd för osäkerhet i såväl driften som volatiliteten i den underliggande referenspriset, och vi studerar bland annat vilken effekt denna osäkerhet har på nivån på det tillgångslager som marker makers håller.

För det andra har vi utvecklat ett ramverk för modellering av dynamiken i en reducerad orderbok i händelsetid. Jämfört med tidigare men liknande arbeten och modeller, så tillåter vi i vårt ramverk för orderboken spreadar mellan best bid och best ask som är större än en tick. Utgående från ett modelleringsantagandet att högsta köpkurs samt lägsta säljkurs endast kan röra sig med högst en tick i taget (upp eller ner) när en händelse inträffar, visar vi att dynamiken i denna förenklade orderbok helt kan beskrivas av en icke-linjär transformation av två processer (X, Y). En viktig utmaning i modelleringen är det empiriska faktum att orderflödet är starkt autokorrelerat, ett faktum som vi måste hantera i modelleringen av (X, Y). Kärnan i vårt ramverk är en semi-linjär regressionstypen modell för (X, Y), influerad av flera klassiska ekonometriska modeller, och en viktig frihetsgrad är de potentiellt icke-linjära basfunktioner som används i regressionen. För att analysera våra modellers statistiska egenskaperna använder vi bland annat resultat från teorin om slumpmässiga iterativa funktionssystem.

För det tredje har vi studerat Hawkes processer som ett verktyg för att modellera högfrekvensdata. Vi har arbetat med två Hawkes baserade modeller, en med exponentiella kärnor och en med polynomiellt avtagande kärnor. Modellerna har implementerats och jämförts utifrån olika perspektiv och i relation till empiriska data. Studier baserade på såväl flera handelsdagars samt flera aktier, indikerar att Hawkes processer med polynomiellt avtagande kärnor kan återskapa antalet hopp i underliggande prisprocesser med precision. Resultaten tyder på att denna typ av Hawkes processer, med långt minne, kan tjäna som en realistiska och intressanta modeller för högfrekvensdata.

De tre ovan beskrivna resultaten utgör ramverk/modeller som kan användas för att modellera och analysera formationen av orderboken och dess dynamik med hjälp av stokastisk kontrollteori och verktyg från ekonometri och statistik. Samtliga modeller innehåller förenklade antagande för att göra modellerna beräkningsbar och tillämpbara i reella applikationer. Fortsatt utveckling och generalisering av modellerna kan till exempel innebära att en rikare dynamik i orderflödet tillåts samt att spreadarna tillåts vara stokastiska.

Problemen som behandlas i detta projekt har under de senaste åren utvecklats till ett internationellt mycket aktivt forskningsområde eftersom HF market makers idag på många marknader utgör en betydande del av den totala HFT aktiviteten. I synnerhet är market making en central del av HFT verksamheten och det finns ett ökande intresse att förstå de principer som HF market makers baserar sin verksamhet på. För att deltaga i det internationella samtalet, och för att informera om projektet, har projektets medlemmarna deltagit i ett antal internationella aktiviteter. Nedan listar vi ett antal av dessa.

o December 2010, Zurich, Switzerland. Liquidity risk Europe (Kaj Nyström).
o 2011, Stockholm, Sweden. Intervjuer Riksbanken, Swedbank, NasdaqOMX mfl (Kaj Nyström).
o September 2012, Yerevan, Armenia. Workshop on Stochastic and PDE Methods in Financial Mathematics (Sidi Mohamed Ould Aly).
o September 2012, at Ulm University, Germany. International Summer Academy 2012 on Advanced Stochastic Methods to Model Risk (Changyong Zhang).
o September 2012, New York, USA. High-frequency trading strategies (Kaj Nyström).
o December 2012, Paris, France. 2nd "Market Microstructure: confronting many viewpoints" conference (Sidi Mohamed Ould Aly, Kaj Nyström and Changyong Zhang).

Publikationer

•    Kaj Nyström, Sidi Mohamed Ould Aly and Changyong Zhang, Market Making and Portfolio Liquidation under Uncertainty, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2014, vol. 17, issue 05, 33 pages.
•    Kaj Nyström, Sidi Mohamed Ould Aly, A Framework for the Modeling of Order Book Dynamics based on Event Sizes, submitted.
•    Kaj Nyström, Sidi Mohamed Ould Aly, and Changyong Zhang, Hawkes Processes with Power-Law Kernels: applications to high frequency data, in preparation.

Papers be downloaded from the homepage of Kaj Nyström at the department of mathematics, Uppsala University, http://katalog.uu.se/empInfo?id=N94-1986, or accessed by sending an email to kaj.nystrom@math.uu.se.